Question

已知A，B是△ABC的兩個內角，

a

=

2

cos

A+B

2

i

+sin

A-B

2

j

，（其中

i

，

j

是互相垂直的單位向量），若|

a

|=

6

2

．
（1）試問tanA•tanB是否為定值，若是定值，請求出，否則請說明理由；
（2）求tanC的最大值，并判斷此時三角形的形狀．

Answer 1

分析：（1）先利用向量數量積的運算性質|

a

|2=

a

2，將|

a

|=

6

2

轉化為三角方程，再利用二倍角公式和兩角和差的余弦公式將方程化簡即可求得tanA•tanB的值；
（2）求tanC的最大值即求tan（A+B）的最小值，利用兩角和的正切公式及（1）中結論，即可利用均值定理求得tan（A+B）的最小值，利用均值定理等號成立的條件，即可求得此時三角形的形狀

解答：解：（1）tanA•tanB為定值

1

3

，證明如下：
由|

a

|2=

3

2

，得2cos2

A+B

2

+sin2

A-B

2

=

3

2

∴1+cos（A+B）+

1-cos(A-B)

2

=

3

2

即2cos（A+B）=cos（A-B），即cosAcosB=3sinAsinB
∴tanAtanB=

1

3

（2）∵tanAtanB=

1

3

＞0，∴tanA＞0，tanB＞0
∴tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

3

2

（tanA+tanB）≥

3

2

×2

tanA•tanB

=

3

∴tan（A+B）≥

3

，即-tanC≥

3

∴tanC≤-

3

當tanC=-

3

時，

tanA+tanB= 2 3 3 tanA•tanB= 1 3

，即tanA=tanB=

3

3

∴A=B=30°
∴tanC的最大值為-

3

，此時△ABC為等腰三角形

點評：本題主要考查了向量數量積的運算性質及其應用，三角變換公式在三角化簡和求值中的應用，利用均值定理求函數的最值的方法，屬中檔題