Question

【題目】設數列{an}前n項和為Sn ， 且Sn+an=2． （Ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{bn}滿足b1=a1 ， bn= ，n≥2 求證{ }為等比數列，并求數列{bn}的通項公式；
（Ⅲ）設cn= ，求數列{cn}的前n和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由Sn+an=2，得Sn+1+an+1=2，兩式相減，得2an+1=an ， ∴ （常數）， ∴數列{an}是等比數列，
又n=1時，S1+a1=2，∴ ；
（Ⅱ）證明：由b1=a1=1，且n≥2時，bn= ，得bnbn﹣1+3bn=3bn﹣1 ，
∴ ，
∴{ }是以1為首項， 為公差的等差數列，
∴ ，故 ；
（Ⅲ）解：cn= = ，
，
，
以上兩式相減得，

=
= ．
∴ ．
【解析】（Ⅰ）由數列遞推式可得Sn+1+an+1=2，與原數列遞推式作差可得數列{an}是等比數列，則數列{an}的通項公式可求；（Ⅱ）由b1=a1求得b1 ， 把bn= 變形可得{ }為等比數列，求其通項公式后可得數列{bn}的通項公式；（Ⅲ）把{an}，{bn}的通項公式代入cn= ，利用錯位相減法求數列{cn}的前n和Tn ．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．