Question

【題目】已知的內角、、的對邊分別為、、，為內一點，若分別滿足下列四個條件：

①；

②；

③；

④；

則點分別為的（ ）

A.外心、內心、垂心、重心B.內心、外心、垂心、重心

C.垂心、內心、重心、外心D.內心、垂心、外心、重心

Answer 1

【答案】D

【解析】

先考慮直角，可令，，，可得，，，設，由向量的坐標表示和三角函數的恒等變換公式計算可判斷①③④為三角形的內心、外心和重心；考慮等腰，底角為，設，，，，由向量的坐標表示和向量垂直的條件，可判斷②為三角形的垂心．

先考慮直角，可令，，，

可得，，，設，

①，即為，

即有，，解得，

即有到，軸的距離為1，在的平分線上，且到的距離也為1，

則為的內心；

③，

即為，

可得，，解得，，

由，故為的外心；

④，可得，

即為，，解得，，

由的中點為，，，即分中線比為，

故為的重心；

考慮等腰，底角為，

設，，，，

②，

即為，

可得，，解得，，

即，由，，即有，

故為的垂心．

故選：D