Question

【題目】已知函數f（x）=ax2﹣lnx（a∈R）
（1）當a=1時，求函數y=f（x）的單調區間；
（2）若x∈（0，1]，|f（x）|≥1恒成立，求a的取值范圍；
（3）若a= ，證明：ex﹣1f（x）≥x．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=1時，函數f（x）=x2﹣lnx， ．

函數f（x）的定義域為（0，+∞），

則由f'（x）＞0得 ，由f'（x）＜0得 ，

所以函數f（x）的單調遞增區間為 ，單調遞減區間為

（2）解：由已知得f′（x）=2ax﹣ ．

若f′（x）≤0在（0，1]上恒成立，則2a≤ 恒成立，所以2a≤（ ）min=1，即a≤ ．

①a≤ 時，f（x）在（0，1]單調遞減，f（x）min=f（1）=a，與|f（x）|≥1恒成立矛盾．

②當a＞ 時，令f′（x）=2ax﹣ =0，得x= ∈（0，1]．

所以當x∈（0， ）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；

當x∈（ ，1]時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增．

所以f（x）min=f（ ）=a（ ）2﹣ln = + ln2a．

由|f（x）|≥1得， + ln2a≥1，所以a≥ ．

綜上，所求a的取值范圍是[ ，+∞）

（3）解：證明：a= 時，由（Ⅱ）得f（x）min= + ln2a=1．

令h（x）= ，則h′（x）= ．

所以當0＜x＜1時，h′（x）＞0，h（x）單增；當x≥1時，h′（x）＜0，h（x）單減．

所以h（x）≤h（1）=1．…（13分）

所以f（x）≥h（x），即ex﹣1f（x）≥x

【解析】（1）求出導數，由導數大于0，可得增區間；導數小于0，可得減區間；（2）求出導數，對a討論，①a≤ 時，②當a＞ 時，求出單調區間，可得最小值，由恒成立思想即可得到a的范圍；（3）a= 時，由（Ⅱ）得f（x）min= + ln2a=1，令h（x）= ，求出導數，單調區間，運用單調性即可得證．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．