Question

在四面體PABC中，已知∠APB=∠BPC=∠CPA=

π

2

，且各棱長的和為

2

+1，則這個四面體體積的最大值是

 

．

Answer 1

分析：設出PA，PB，PC，求出AB，BC，AC，表示出棱長的和，和體積，利用基本不等式即可求解．

解答：解：設PA=a，PB=b，PC=c，則AB=

a2+b2

，AC=

a2+c2

，BC=

b2+c2

所以a+b+c+

a2+b2

+

a2+c2

+

b2+c2

=

2

+1

2

+1≥3

3	abc

+3

2

3	abc

∴abc≤

1

27

四面體體積的最大值為：

1

162

（此時a=b=c=

1

3

）
故答案為：

1

162

點評：本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，棱錐的結構特征，基本不等式求最大值，是中檔題．