Question

（2012•廣州一模）如圖，在四面體PABC中，PA=PB，CA=CB，D、E、F、G分別是PA、AC、CB、BP的中點．
（1）求證：D、E、F、G四點共面；
（2）求證：PC⊥AB；
（3）若△ABC和△PAB都是等腰直角三角形，且AB=2，PC=

2

，求四面體PABC的體積．

Answer 1

分析：（1）先利用三角形中位線定理和平行公理證明DG∥EF，從而利用平面的性質公理證明四點共面；
（2）取AB中點為O，先利用線面垂直的判定定理證明AB⊥面POC，再利用線面垂直的定義證明結論即可；
（3）先利用線面垂直的判定定理證明PO⊥面ABC，再利用棱錐體積計算公式計算體積即可

解答：解：（1）依題意DG∥AB，EF∥AB，
∴DG∥EF，
∴DG、EF共面，從而D、E、F、G四點共面．
（2）取AB中點為O，連接PO、CO
∵PA=PB，CA=CB，∴PO⊥AB，CO⊥AB，
∵PO∩CO=O，∴AB⊥面POC
∵PC?面POC，∴AB⊥PC
（3）因為△ABC和PAB是等腰直角三角形，所以PO=CO=

1

2

AB=1，
∵PC=

2

，OP²+OC²=PC²，∴OP⊥OC，
又PO⊥AB，且AB∩OC=O，
∴PO⊥面ABC
∴VP-ABC=

1

3

×PO×S△ABC=

1

3

×1×2×1×

1

2

=

1

3

點評：本題主要考查了三棱錐中的線面關系和計算，線面垂直的判定和定義，平面的基本性質及其公理，三棱錐體積計算公式等知識