Question

【題目】（1）若動點到定點的距離與到定直線：的距離之比為，求證：動點的軌跡是橢圓；

（2）設（1）中的橢圓短軸的上頂點為，試找出一個以點為直角頂點的等腰直角三角形，并使得、兩點也在橢圓上，并求出的面積；

（3）對于橢圓(常數)，設橢圓短軸的上頂點為，試問：以點為直角頂點，且、兩點也在橢圓上的等腰直角三角形有幾個？

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）見解析

【解析】

（1）假設動點坐標,利用條件,建立等式,化簡可判斷動點的軌跡;

（2）根據條件可知,,應是關于軸對稱,將直線方程與橢圓方程聯立,從而可求 長,故可求面積;

（3）與（2）相同的求法,將直線方程與橢圓方程聯立,求,的長,利用即可得出答案.

（1）動點到定點的距離與到定直線：的距離之比為

，化簡可得:， 動點的軌跡是橢圓.

（2） 橢圓方程為,

又 等腰直角三角形是以為直角頂點，

不妨設點在軸左側,則點在軸右側，

若直線、關于軸對稱且該三角形為等腰直角三角形，可取，則，

,,

聯立橢圓方程和直線方程可得:，

消掉:可得:，解得

故,可得

根據兩點間距離公式可得:

等腰直角三角形是以、為直角邊,

；

（3）橢圓方程為,，設,

聯立橢圓方程和直線方程可得:，

消掉可得:, 解得，

又 根據弦長公式可得:，

同理可得，

， ，

化簡可得: ,即:，

可得或

當且，即時,有三個解,即這樣的三角形有個；

當時，即當時，方程為，解得，這樣的三角形只有個；

當時，即當時，只有一個解,即這樣的三角形有個.