Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）討論在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）當(dāng)時(shí)，在上沒(méi)有零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn).

【解析】

（1）利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分類(lèi)討論參數(shù)，得出的單調(diào)性；

（2）轉(zhuǎn)化問(wèn)題，原函數(shù)有零點(diǎn)即函數(shù)有解，求導(dǎo)得出的單調(diào)性和極值，分類(lèi)討論得出在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

解：（1）∵，

∴，

當(dāng)時(shí)，恒成立，

∴在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，

令，得，令，得.

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（2）令，得，

設(shè)，則.

令，得，

令，得，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則.

當(dāng)時(shí)，在上無(wú)解，所以在上沒(méi)有零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，在上有且僅一個(gè)解，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)解，所以在上有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上，當(dāng)時(shí)，在上沒(méi)有零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，在上只有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn).