Question

設圓C₁的方程為（x+2）²+（y-3m-2）²=4m²，直線l的方程為y=x+m+2．
（1）若m=1，求圓C₁上的點到直線l距離的最小值；
（2）求C₁關于l對稱的圓C₂的方程；
（3）當m變化且m≠0時，求證：C₂的圓心在一條定直線上，并求C₂所表示的一系列圓的公切線方程．

Answer 1

（1）∵m=1，∴圓C₁的方程為（x+2）²+（y-5）²=4，直線l的方程為x-y+3=0，
所以圓心（-2，5）到直線l距離為：d=

|-2-5+3|

2

=2

2

＞2，
所以圓C₁上的點到直線l距離的最小值為2

2

-2；（4分）
（2）圓C₁的圓心為C₁（-2，3m+2），設C₁關于直線l對稱點為C₂（a，b），
則

b-3m-2 a+2 =-1 3m+2+b 2 = a-2 2 +m+2

解得：

a=2m b=m

，
∴圓C₂的方程為（x-2m）²+（y-m）²=4m²；
（3）由

a=2m b=m

消去m得a-2b=0，
即圓C₂的圓心在定直線x-2y=0上．（9分）
①當公切線的斜率不存在時，易求公切線的方程為x=0；
②當公切線的斜率存在時，設直線y=kx+b與圓系中的所有圓都相切，
則

|k•2m-m+b|

1+k2

=2|m|，即（-4k-3）m²+2（2k-1）•b•m+b²=0，
∵直線y=kx+b與圓系中的所有圓都相切，所以上述方程對所有的m值都成立，
所以有：

-4k-3=0 2(2k-1)b=0 b2=0

解之得：

k=- 3 4 b=0

，
所以C₂所表示的一系列圓的公切線方程為：y=-

3

4

x，
故所求圓的公切線為x=0或y=-

3

4

x．（14分）