Question

給出下列四個命題中：
①底面是等邊三角形，側面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；
②與不共面的四點距離都相等的平面共有4個．
③正四棱錐側面為銳角三角形；
④橢圓中，離心率e趨向于0，則橢圓形狀趨向于扁長．
其中所有真命題的序號是

③

．

Answer 1

分析：①根據正三棱錐的定義判斷．
②四個點在平面同側不可能存在與空間不共面四點距離相等的平面，那么可分為一個點在平面一側，另三個點在另一側，中截面滿足條件，這樣的情形有4個，還有一類是二個點在平面一側，另兩個點在另一側，這樣滿足條件的平面有三個，即可求出所有滿足條件的平面．
③可由側面中等腰三角形定義分析，三角形底角不會為鈍角，若頂角為鈍角，則構不成正四棱錐．
④在橢圓中，e越接近于1，則c越接近于a，從而b越小，因此，橢圓越扁；反之，e越接近于0，c越接近于0，從而b越接近于a，這時橢圓就接近于圓．所以橢圓離心率越大，它越扁．利用此規律即可得出結論．

解答：解：①顯然不對，比如三條側棱中僅有一條不與底面邊長相等的情況，側面都是等腰三角形的三棱錐但不是正三棱錐．
②一個點在平面一側，另三個點在另一側，這樣滿足條件的平面有四個，都是中截面，如圖，二個點在平面一側，另兩個點在另一側，這樣滿足條件的平面有三個，如圖，
故與不共面的四點距離都相等的平面共有7個；故②錯；
③側面三角形底角不會為鈍角，若頂角為鈍角，則構不成正四棱錐，所以是銳角三角形，故③正確．
④橢圓中，離心率e趨向于0，這時橢圓就接近于圓，故④錯．
故答案為：③．

點評：本題主要考查命題的真假判斷與應用，棱錐的結構特征及棱錐的分類、橢圓的幾何性質等，考查很全面，要求掌握要熟練，屬中檔題．