Question

（2012•廣安二模）已知向量

a

=(2cos2x+t，

3

)，

b

=(1，sin2x)，函數f（x）=

a

•

b

．
（1）求函數y=f（x）的最小正周期以及單調遞增區間；
（2）當x∈[0，

π

4

]時，f（x）有最大值4，求實數t的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的恒等變換化簡函數f（x）的解析式為 2sin（2x+

π

6

）+t+1，由此求出它的周期，再由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求出x的范圍，即可求得函數的單調遞增區間．
（2）當x∈[0，

π

4

]時，

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，1≤2sin（2x+

π

6

）≤2，由此求得t+2≤f（x）≤t+3，再由最大值為4，可得 t+3=4，從而求得t的值．

解答：解：（1）函數f（x）=

a

•

b

=2cos²x+t+

3

sin2x=1=cos2x+1+t+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

）+t+1．
故它的最小正周期為

2π

2

=π．
令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
故函數的單調遞增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
（2）當x∈[0，

π

4

]時，

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，∴1≤2sin（2x+

π

6

）≤2，
∴t+2≤f（x）≤t+3．
由于（x）有最大值4，故 t+3=4，t=1．

點評：本題主要考查兩個向量數量積公式，三角函數的恒等變換及化簡求值，復合三角函數的單調性，三角函數的周期性和求法，屬于中檔題．