Question

【題目】已知橢圓的左，右焦點分別為F1， F2，直線l1過點F1且垂直于橢圓的長軸，動直線l2垂直l1于點P，線段PF2的垂直平分線交l2于點M.

(1)求點M的軌跡的方程；

（2）設與x軸交于點Q， 上不同于點Q的兩點R、S，且滿足，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：

（1）由題意結合拋物線的定義可知動點M的軌跡是以l1為準線，F2為焦點的拋物線，軌跡方程為.

（2）由題意可得，設，由向量垂直的充要條件可得，則，由距離公式可得，結合二次函數的性質可得的取值范圍是.

試題解析：

（1）因為，

所以動點M到定直線的距離等于它到定點的距離，

所以動點M的軌跡是以l1為準線，F2為焦點的拋物線，

所以M的軌跡的方程為.

（2），設，則，

因為，所以，因為，

，解得，

故，

當且僅當時等號成立，

，

又因為，所以當，即時，取最小值，

故的取值范圍是.