Question

【題目】如圖所示，正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長為1，E、F分別是棱AA′，CC′的中點，過直線EF的平面分別與棱BB′、DD′交于M、N，設BM=x，x∈[0，1]，給出以下四個命題：
①平面MENF⊥平面BDD′B′；
②當且僅當x= 時，四邊形MENF的面積最小；
③四邊形MENF周長l=f（x），x∈0，1]是單調函數；
④四棱錐C′﹣MENF的體積v=h（x）為常函數；
以上命題中真命題的序號為 ．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：①連結BD，B′D′，則由正方體的性質可知，EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′，所以①正確．
②連結MN，因為EF⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四邊形MENF的對角線EF是固定的，所以要使面積最小，則只需MN的長度最小即可，此時當M為棱的中點時，即x= 時，此時MN長度最小，對應四邊形MENF的面積最小．所以②正確．
③因為EF⊥MN，所以四邊形MENF是菱形．當x∈[0， ]時，EM的長度由大變小．當x∈[ ，1]時，EM的長度由小變大．所以函數L=f（x）不單調．所以③錯誤．
④連結C′E，C′M，C′N，則四棱錐則分割為兩個小三棱錐，它們以C′EF為底，以M，N分別為頂點的兩個小棱錐．因為三角形C′EF的面積是個常數．M，N到平面C'EF的距離是個常數，所以四棱錐C'﹣MENF的體積V=h（x）為常函數，所以④正確．
故答案為：①②④．

①利用面面垂直的判定定理去證明EF⊥平面BDD′B′．②四邊形MENF的對角線EF是固定的，所以要使面積最小，則只需MN的長度最小即可．③判斷周長的變化情況．④求出四棱錐的體積，進行判斷．