Question

已知棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是B₁C₁和C₁D₁的中點(diǎn)，點(diǎn)A₁到平面DBEF的距離

1

．

Answer 1

分析：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD₁的方向分別為X，Y，Z軸的正方向，建立坐標(biāo)系，求出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面BDFE的法向量，代入向量點(diǎn)到平面的距離公式，即可得點(diǎn)A₁到平面DBFE的距離．

解答：解：建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則B（1，1，0），E（

1

2

，1，1），F(xiàn)（0，

1

2

，1），
設(shè)

n

=（x，y，z）是平面BDFE的法向量，由

n

⊥

DB

，

n

⊥

DF

，

DB

=（1，1，0），

DF

=（0，

1

2

，1）得：

n

•

DB

=x+y=0

n

•

DF

=

1

2

y+z=0
所以：x=-yz=-

y

2

令y=1，得

n

=（-1，1，

1

2

），
設(shè)點(diǎn)A在平面BDFE上的射影為H，
連接A₁D，A₁D是平面BDFE的斜線段，
則：cos＜

A1D

，

A1H

＞=

2

2

，
所以|

A1H

|=|

A1D

|•cos＜

A1D

，

A1H

＞=1所以點(diǎn)A₁到平面DBEF的距離為1；
故答案為：1

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面所成的角，點(diǎn)、線、面的距離的計(jì)算，其中根據(jù)已知建立空間坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題是解答本題的關(guān)鍵．