Question

（2011•朝陽(yáng)區(qū)二模）已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱BB₁，DD₁上的動(dòng)點(diǎn)，且BE=D₁F=λ(0＜λ≤

1

2

)．設(shè)EF與AB所成的角為α，與BC所成的角為β，則α+β的最小值（　　）

A．不存在

B．等于60

C．等于90

D．等于120

Answer 1

分析：在AA₁上取一點(diǎn)M，使EM∥AB，連接MF，則∠MEF=α，同理可得α=β，解△MFE，可以求出cosα的取值范圍，進(jìn)而根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性，求出α的取值范圍，進(jìn)而求出α+β的范圍．

解答：解：在AA₁上取一點(diǎn)M，使EM∥AB，連接MF，則∠MEF=α，
同理可判斷α=β．
在△MFE中，ME=1，EF=

2+(1-2λ)2

，MF=

1+(1-2λ)2

，
所以cosα=

1

2+(1-2λ)2

≥

2

2

，
所以α_min=45°，
因此（α+β）_min=90°．
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面所成的角，棱柱的結(jié)構(gòu)特征，其中在判斷EF與AB所成的角α、BC所成的角β時(shí)不能從圖形直接判斷為相等是本題解答的一個(gè)障礙，由三角函數(shù)值確定角也是較為容易出錯(cuò)的地方．此外若采用空間坐標(biāo)運(yùn)算還可能出現(xiàn)坐標(biāo)的確定有誤．