Question

【題目】已知函數，.

（1）若函數的圖象在處的切線與軸平行，求的值；

（2）當時，恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）求解出導函數，根據導函數在的值為即可計算出的值；

（2）解法一：采用分類討論的思想分析時的取值范圍，確定出最小值；解法二：采用參變分離的思想分析問題，構造新函數，利用新函數的最值與的關系求解出的最小值.

（1）依題意故；

（2）解法一:

，

顯然，令，則，

所以在單調遞增，且，

當即時，，在單調遞增，

故等價于，此式已成立，從而滿足條件，

當即時，由在單調遞增，

，，

故使得，即，

令，即，得，

又令，即，得，因此在處取得最小值，

，又，故，

設，，且，

法一：，故在單調遞減，由知，

即，而在單調遞減，

所以，即；

法二：，由知，即下同法一；

綜上可知，因此的最小值為；

解法二：當時，恒成立，因求的最小值，不妨設，

則只研究，設，下求；

，由，并記，，

即，亦即，

故，因此在單調遞增，在單調遞減，

所以，即，因此的最小值為.