Question

【題目】橢圓： 的離心率為，短軸端點與兩焦點圍成的三角形面積為.

(1)求橢圓的方程；

(2)設直線與橢圓交于兩點，且過點，為坐標原點，當△為直角三角形，求直線的斜率.

Answer 1

【答案】(1)；(2)和.

【解析】

(1)利用題中所給面積及離心率列出方程組求解a,b,c，即可求得橢圓的標準方程；(2)根據題意設出直線方程并與橢圓方程聯立，得到關于x的二次方程，由韋達定理表示出,①當為直角時，由列出方程即可求得k；②當或為直角時，不妨設為直角，由及列出方程組求點A的坐標，從而求出直線的斜率k.

(1)根據題意可得，

所以橢圓方程為；

(2)根據題意，過點滿足題意得直線斜率存在，設，

聯立，消去y得：，

，令，解得，

，

設A、B兩點的坐標分別為，

①當為直角時，，即，

所以，

則，解得；

②當或為直角時，不妨設為直角，

此時，，則，①，

又②，將①代入②可得，

解得或(舍去)，

將代入①，得，所以，

經檢驗，所求k值均與題意相符，綜上，k的值為和.