Question

對于任意實數a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|2a-b|≥|b|（|x-1|+|x-2|）恒成立，試求實數x的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值三角不等式

專題：計算題,不等式的解法及應用

分析：分類討論，當b≠0時，|x-1|+|x-2|≤

|a+b|+|2a-b|

|b|

恒成立，故|x-1|+|x-2|小于或等于

|a+b|+|2a-b|

|b|

的最小值，即可得出結論．

解答： 解：（1）當b=0時，原不等式恒成立，則x∈R．
（2）當b≠0時，|x-1|+|x-2|≤

|a+b|+|2a-b|

|b|

恒成立，故|x-1|+|x-2|小于或等于

|a+b|+|2a-b|

|b|

的最小值．
設t=

a

b

，則

|a+b|+|2a-b|

|b|

=|t+1|+|2t-1|=

3t，t≥ 1 2 -t+2，-1＜t＜ 1 2 -3t，t≤-1

，
∴t=

1

2

時，取到最小值

3

2

，
∴|x-1|+|x-2|≤

3

2

，|x-1|+|x-2|表示數軸上的x對應點到1和2對應點的距離之和，
故不等式的解集為[

3

4

，

9

4

]．

點評：本題考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，判斷|x-1|+|x-2|表示數軸上的x對應點到1和2對應點的距離之和，是解題的關鍵．