Question

【題目】如圖,矩形和梯形所在平面互相垂直,,,.

（1）求證:平面;

（2）當的長為何值時,直線與平面所成角的大小為45°?

Answer 1

【答案】(1)答案見解析(2)

【解析】

（1）（法一）以為原點,所在直線為軸,所在直線為軸,所在直線為建系.根據三角形相似可得,故由勾股定理可知.求得面的法向量，再由向量的數量積求得，可得證；

（法二）由矩形和梯形的幾何性質得出線線平行，再由面面平行的判定定理可證得面面，由面面平行的性質可得證；

（2）由（1）可得面BCE的法向量，由線面角的向量計算方法建立方程可求得.

(1)(法一)如圖,以為原點,所在直線為軸,所在直線為軸,所在直線為建系.

設,由,,,依據三角形相似可得,故由勾股定理可知.

在中,可得.

所以各點坐標為.

,設面的法向量為,所以,

化簡得,令得，得,故.

又不在面上,所以面.

(法二)

因為矩形,故.又,且,,

在面上,在面上,故面面.

又在面上，且不在面上,故面.

(2)，

設面法向量為,所以,化簡得,令,得.

由題得.

故,因為為正,所以.