Question

已知函數f（x）=px-

p

x

-2lnx、
（Ⅰ）若p=3，求曲f9想）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若p＞0且函f（x）在其定義域內為增函數，求實數p的取值范圍；
（Ⅲ）若函數y=f（x）在x∈（0，3）存在極值，求實數p的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）把p=3代入f（x）中確定出解析式，求出f（1）確定出切點坐標和導函數，把x=1代入導函數中求出的導函數值即為切線方程的斜率，根據切點坐標和斜率寫出切線方程即可；
（Ⅱ）求出f（x）的導函數，要使函數在定義域內位增函數，即要導函數在定義域內恒大于0，由導函數的分子解出p大于等于一個關系式，利用基本不等式求出這個關系式的最大值，進而得到p的取值范圍；
（Ⅲ）求出f（x）的導函數，令導函數等于0得到一個方程，記作（*），設方程的左邊為函數h（x），當p=0時求出方程（*）的解為0，顯然函數無極值點；當p不為0時，討論函數有一個極值和兩個極值，列出不等式組，求出不等式組的解集即可得到p的取值范圍．

解答：解：（I）當p=3時，函數f（x）=3x-

3

x

-2lnx，
f（1）=3-3-2ln1=0，f′（x）=3-

3

x2

-

2

x

，
曲線f（x）在點（1，f（x））處的切線的斜率為f′（1）=3-3-2=4，
∴f（x）在點（1，f（x））處得切線方程為y-0=4（x-1），即y=4x-4；
（Ⅱ）f′（x）=p+

p

x2

-

2

x

=

px2-2x+p

x

，（4分）
要使f（x）在定義域（0，+∞）內是增函數，只需f′（x）≥0在（0，+∞）內恒成立，
即px²-2x+p≥0在（0，+∞）上恒成立，（5分）
即p≥

2x

x2+1

在（0，+∞）上恒成立，
設M（x）=

2x

x2+1

，（x＞0）（6分）
則M（x）=

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

，
∵x＞0，∴x+

1

x

≥2，當且僅當x=1時取等號，（7分）
∴M（x）≤1，即M（x）_max=1，∴p≥1，
所以實數p的取值范圍是[1，+∞）；（8分）
（Ⅲ）∵f′（x）=

px2-2x+p

x

，令f′（x）=0，即px²-2x+p=0（*）（9分）
設h（x）=px²-2x+p，x∈（0，3），
當p=0時，方程（*）的解為x=0，此時f（x）在x∈（0，3）無極值，所以p≠0；
當p≠0時，h（x）=px²-2x+p的對稱軸方程為x=

1

p

，
①若f（x）在x∈（0，3）恰好有一個極值，
則

p＞0 h(x)=10p-6≤0

或

p＜0 h(x)=10p-6≥0

，解得：0＜p≤

3

5

，
此時f（x）在x∈（0，3）存在一個極大值；（11分）
②若f（x）在x∈（0，3）恰好兩個極值，即h（x）=0在x∈（0，3）有兩個不等實根
則

p＞0 △=4-4p2＞0 0＜ 1 p ＜3 h(3)＞0

或

p＜0 △=4-4p2＞0 0＜ 1 p ＜3 h(3)＞0

，解得：

3

5

＜p＜1，（13分）
∴0＜p＜1，
綜上所述，當0＜p＜1時，y=f（x）在x∈（0，3）存在極值．（14分）

點評：此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，掌握函數的單調性與導數的關系，掌握函數在某點取得極值的條件，是一道中檔題．