Question

已知函數f（x）=ax³+bx²+c（a，b，c∈R，a≠0）的圖象過點P（ 1，2），且在點P處的切線與直線x-3y=0垂直．
（1）若c∈[0，1），試求函數f（x）的單調區間；
（2）若a＞0，b＞0且（-∞，m），（n，+∞）是f（x）的單調遞增區間，試求n-m-2c的范圍．

Answer 1

分析：（1）把點P的坐標代入f（x）中，得到a，b及c的關系式，記作①，求出f（x）的導函數，又函數在P處的切線與直線x-3y=0垂直，得到切線的斜率為-3，所以把x=1代入導函數中得到導函數值等于-3，列出關于a，b及c的另一關系式，記作②，聯立①②，利用c表示出a與b，代入導函數中得到導函數的系數與c有關，然后根據c的范圍，分c大于等于0小于

1

2

和c大于等于

1

2

小于1兩種情況，討論導函數的正負進而得到相應的函數的單調區間；
（2）當a與b群毆大于0時，得到導函數等于0時x的兩個值，根據（-∞，m），（n，+∞）是f（x）的單調遞增區間，得到m與n關于a與b的關系式，根據（1）中用c表示的a與b代入所求的式子中，得到關于c的關系式，化簡后，由a與b都大于0解出c的取值范圍，利用基本不等式即可求出所求式子的范圍．

解答：解：由f（x）=ax³+bx²+c的圖象過點P（-1，2）可知：-a+b+c=2①，
又f′（x）=3ax²+2bx，因為f（x）點P處的切線與直線x-3y=0垂直，
所以f′（-1）=3a-2b=-3②，
聯立①②解得：a=1-2c，b=3-3c，
則f′（x）=3（1-2c）x²+6（1-c）x，
（i）當c∈[0，

1

2

）時，1-2c＞0，
令f′（x）=0，解得x₁=0，x₂=-

2(1-c)

1-2c

＜0，
顯然，當x＞0或x＜-

2(1-c)

1-2c

時，f′（x）＞0；當-

2(1-c)

1-2c

＜x＜0時，f′（x）＜0，
所以當c∈[0，

1

2

）時，f（x）的單調遞增區間是（-∞，-

2(1-c)

1-2c

）和（0，+∞），
f（x）的單調遞減區間是（0，-

2(1-c)

1-2c

）；
（ii）當c∈[

1

2

，1）時，f（x）的單調遞減區間是（-

2(1-c)

1-2c

，+∞）和（-∞，0），
f（x）的單調遞增區間是（0，-

2(1-c)

1-2c

）；
（2）當a＞0，b＞0時，令f′（x）=3ax²+2bx=x（3ax+2b）=0，解得：x=0或x=-

2b

3a

＜0，
由（-∞，m），（n，+∞）是f（x）的單調遞增區間，得到m=-

2b

3a

，n=0，
又a=1-2c＞0，b=3-3c＞0，得到c＜

1

2

，即1-2c＞0，
則n-m-2c=

2b

3a

-2c=

6-6c

3-6c

-2c=

1

1-2c

+（1-2c）≥2，當且僅當1-2c=

1

1-2c

即c=0或1時取等號，
所以n-m-2c的范圍是[2，+∞）．

點評：此題考查學生會利用導函數的正負確定函數的單調區間，考查分類討論的數學思想，會利用基本不等式求函數的最小值，是一道中檔題．