Question

已知函數，為的導函數。  （1）求函數的單調遞減區間；
（2）若對一切的實數，有成立，求的取值范圍； 
（3）當時，在曲線上是否存在兩點，使得曲線在 兩點處的切線均與直線交于同一點？若存在，求出交點縱坐標的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）當時，的減區間為;當時，的減區間為；  當時，無減區間．（2） （3）存在，且交點縱坐標的最大值為10．

試題分析：（1）首先對函數求導，然后根據導數的性質，求原函數的單調區間．
（2）由題意可知恒成立，根據絕對值的幾何意義，分類去掉絕對值符號，然后再根據基本不等式求解即可．
（3）設切線與直線的公共點為P（2，t），當時，則，由導數的幾何意義可知點A為切點的切線的斜率k=，切線方程為．把點P（2，t）代入切線方程中，整理得，同理可得，設，則原問題等價于函數至少有兩個不同的零點．求，利用導數的性質求出函數g(x)的單調區間和極值，欲使至少有兩個不同的零點，則需滿足極大值g（0）≥0且極小值g（2）≤0，解出t即可．
（1）當時，的減區間為；  
當時，的減區間為；  當時，無減區間。            4分
（2）由條件得：，
當時，得，即恒成立，因為
（當時等號成立)，所以，即;                                6分
當時，得，即恒成立，因為，（當時等號成立)，所以，即;
當時，;
綜上所述，的取值范圍是                                                9分
（3）設切線與直線的公共點為，當時，，
則，因此以點為切點的切線方程為．
因為點在切線上，所以，即．
同理可得方程．                                          11分
設，則原問題等價于函數至少有兩個不同的零點．
因為,
當或時，單調遞增，當時，遞減。
因此，在處取得極大值，在處取得極小值
若要滿足至少有兩個不同的零點，則需滿足，解得
故存在，且交點縱坐標的最大值為10．