Question

（2013•門頭溝區一模）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=

1

2

BC，∠ABC=60°，N是BC的中點．將梯形ABCD繞AB旋轉90°，得到梯形ABC′D′（如圖）．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面ABC′；
（Ⅱ）求證：C′N∥平面ADD′；
（Ⅲ）求二面角A-C′N-C的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由梯形的性質和N是BC的中點可得四邊形ANCD是平行四邊形，得到AN=DC；利用等腰梯形可得AN=AB，又∠ABC=60°，得到△ABN是等邊三角形，于是AN=BN=NC，由出可得△ABC是直角三角形，即AC⊥AB，再利用面面垂直的性質即可得到結論；
（Ⅱ）由已知可得：AD∥BC，AD^′∥BC^′，利用面面平行的判定定理即可得出；
（Ⅲ）如圖所示的空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，利用法向量的夾角即可得到二面角的一余弦值．

解答：（Ⅰ）證明：∵AD=

1

2

BC，N是BC的中點，
∴AD=NC，又AD∥BC，
∴四邊形ANCD是平行四邊形，∴AN=DC．
又∵等腰梯形，∴AN=AB．
又∠ABC=60°，
∴△ABN是等邊三角形．
∴AN=BN=

1

2

BC，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°．
∴AC⊥AB．
∵平面C^′BA⊥平面ABC，
∴AC⊥平面ABC^′．
（Ⅱ）證明：∵AD∥BC，AD^′∥BC^′，
AD^′∩AD=A，BC∩BC^′=B，
∴平面ADD^′∥平面BCC^′，
∴C^′N∥平面ADD^′．
（Ⅲ）∵AC⊥平面ABC^′，
同理AC^′⊥平面ABC，建立如圖如示坐標系
設AB=1，
則B（1，0，0），C(0，

3

，0)，C′(0，0，

3

)，N(

1

2

，

3

2

，0)，
則

BC′

=(-1，0，

3

)，

CC′

=(0，-

3

，

3

)．
設平面C^′NC的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • CC′ =0 n • BC′ =0

，即

- 3 y+ 3 z=0 -x+ 3 z=0

，
令z=1，則x=

3

，y=1，得

n

=(

3

，1，1)．
∵AC^′⊥平面ABC，∴平面C^′AN⊥平面ABC．
又BD⊥AN，平面C^′AN∩平面ABC=AN，
∴BD⊥平面C^′AN，
設BD與AN交于點O，O則為AN的中點，O(

1

4

，

3

4

，0)．
所以平面C^′AN的法向量

OB

=(

3

4

，-

3

4

，0)．           
∴cosθ=

n • OB

| n | | OB |

=

5

5

．
由圖形可知二面角A-C^′N-C為鈍角．
所以二面角A-C^′N-C的余弦值為-

5

5

．

點評：熟練掌握等腰梯形的性質、平行四邊形的判定與性質、等邊三角形及直角三角形的判定與性質、面面垂直與平行的判定及性質、通過建立空間直角坐標系利用法向量的夾角求空間角是解題的關鍵．