Question

（2013•門頭溝區一模）如圖已知平面α，β，且α∩β=AB，PC⊥α，PD⊥β，C，D是垂足．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面PCD；
（Ⅱ）若PC=PD=1，CD=

2

，試判斷平面α與平面β的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析：對于問題（Ⅰ），要證明AB⊥平面PCD，只需證明垂直于平面PCD內的兩條相交直線，根據本題的條件，只需證明AB⊥PC，AB⊥PD即可，而條件中的PC⊥α，PD⊥β，由線面垂直的定義可以得到PC⊥AB，PD⊥AB，問題得以解決；對于問題（Ⅱ），由于兩個平面已經相交，所以應該考慮二者是否垂直，而由問題（Ⅰ）的結論，容易作出C-AB-D的平面角∠CHD，而PC=PD=1，CD=

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能夠得到∠CPD=90°，由平面四邊形內角定理，容易得到∠CHD=90°，由面面垂直的定義可以得證．

解答：解：（Ⅰ）因為PC⊥α，AB?α，所以PC⊥AB．同理PD⊥AB．
又PC∩PD=P，故AB⊥平面PCD．（5分）
（Ⅱ）設AB與平面PCD的交點為H，連接CH、DH．因為AB⊥平面PCD，
所以AB⊥CH，AB⊥DH，所以∠CHD是二面角C-AB-D的平面角．
又PC=PD=1，CD=

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，所以CD²=PC²+PD²=2，即∠CPD=90°．
在平面四邊形PCHD中，∠PCH=∠PDH=∠CPD=90°，
所以∠CHD=90°．故平面α⊥平面β．（14分）

點評：本題考查直線與平面垂直的判定以及平面與平面垂直的判定，根據判定定理，證明線面垂直往往轉化為證線線垂直，而線線垂直的證明往往還需要線面垂直來得到，要注意二者之間的轉化關系，對于面面垂直，定義也是常用的方法．