Question

【題目】已知函數f（x）=2 sin（ + ）sin（ ﹣ ）﹣sin（π+x），且函數y=g（x）的圖象與函數y=f（x）的圖象關于直線x= 對稱．
（1）若存在x∈[0， ），使等式[g（x）]2﹣mg（x）+2=0成立，求實數m的最大值和最小值
（2）若當x∈[0， ]時不等式f（x）+ag（﹣x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）= sin（x+ ）+sinx= cosx+sinx=2sin（x+ ）．

函數y=g（x）的圖象上取點（x，y），關于直線x= 對稱點的坐標為（ ﹣x，y），

代入f（x）=2sin（x+ ），可得y=2sin（ ﹣x），

x∈[0， ），則 ﹣x∈[ ， ]，∴y∈[1，2]，

等式[g（x）]2﹣mg（x）+2=0，可化為m=y+ ，

∴y= 時，m的最小值為2 ；m=1或2時，m的最大值為3

（2）解：當x∈[0， ]時，f（x）∈[﹣ ，1]，g（﹣x）∈[﹣1，1]，

∵當x∈[0， ]時不等式f（x）+ag（﹣x）＞0恒成立，

∴a 或a

【解析】（1）先求出f（x），g（x）的解析式，確定g（x）∈[1，2]，等式[g（x）]2﹣mg（x）+2=0，可化為m=y+ ，即可求實數m的最大值和最小值（2）當x∈[0， ]時，f（x）∈[﹣ ，1]，g（﹣x）∈[﹣1，1]，利用當x∈[0， ]時不等式f（x）+ag（﹣x）＞0恒成立，求a的取值范圍．