Question

（2013•南通二模）設無窮數列{a_n}滿足：?n∈N^*，a_n＜a_n+1，an∈N*．記bn=aan，  cn=aan+1(n∈N*)．
（1）若bn=3n(n∈N*)，求證：a₁=2，并求c₁的值；
（2）若{c_n}是公差為1的等差數列，問{a_n}是否為等差數列，證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據已知條件排除a₁=1、a₁≥3即可證得a₁=2，c1=aa1+1=a3，通過計算可得a₂=3，故a3=aa2=b₂，代入數值可求得；
（2）由a_n+1＞a_n⇒n≥2時，a_n＞a_n-1，由此可推得a_n≥a_m+（n-m）（m＜n），從而⇒aan+1+1≥aan+1+an+1+1-(an+1)，即c_n+1-c_n≥a_n+1-a_n，又{c_n}是公差為1的等差數列，所以1≥a_n+1-a_n，又a_n+1-a_n≥1，故a_n+1-a_n=1，由此可判斷{a_n}是否為等差數列；

解答：（1）因為an∈N*，所以若a₁=1，則aa1=a1=3矛盾，
若a1≥3=aa1，可得1≥a₁≥3矛盾，所以a₁=2． 
于是a2=aa1=3，
從而c1=aa1+1=a3=aa2=6． 
（2）{a_n}是公差為1的等差數列，證明如下：
a_n+1＞a_n⇒n≥2時，a_n＞a_n-1，
所以a_n≥a_n-1+1⇒a_n≥a_m+（n-m），（m＜n）⇒aan+1+1≥aan+1+an+1+1-(an+1)，即c_n+1-c_n≥a_n+1-a_n，
由題設，1≥a_n+1-a_n，又a_n+1-a_n≥1，
所以a_n+1-a_n=1，即{a_n}是等差數列．

點評：本題考查等差數列的判定及通項公式，考查學生的邏輯推理能力，難度較大．