Question

（2013•南通二模）選修4-5：不等式選講
若正數a，b，c滿足a+b+c=1，求

1

3a+2

+

1

3b+2

+

1

3c+2

的最小值．

Answer 1

分析：利用柯西不等式，即可求得

1

3a+2

+

1

3b+2

+

1

3c+2

的最小值．

解答：解：∵正數a，b，c滿足a+b+c=1，
∴（

1

3a+2

+

1

3b+2

+

1

3c+2

）[（3a+2）+（3b+2）+（3c+2）]≥（1+1+1）²，
即

1

3a+2

+

1

3b+2

+

1

3c+2

≥1
當且僅當a=b=c=

1

3

時，取等號
∴當a=b=c=

1

3

時，

1

3a+2

+

1

3b+2

+

1

3c+2

的最小值為1．

點評：本題考查求最小值，解題的關鍵是利用柯西不等式進行求解，屬于中檔題．