Question

【題目】如圖，在各棱長均為4的直四棱柱中，底面為菱形， ， 為棱上一點，且.

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）由底面為菱形，可得，根據直棱柱的性質可得，由線面垂直的判定定理可得平面，從而根據面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）設與交于點， 與交于點，以為原點， 分別為軸，建立空間直角坐標系，分別根據向量垂直數量積為零列方程組求出平面與平面的一個法向量，根據空間向量夾角余弦公式，可得二面角的余弦值.

試題解析：（1）證明：∵底面為菱形，∴.

在直四棱柱中，∴底面， ∴.

∵，∴平面，

又平面，∴平面平面.

（2）解：設與交于點， 與交于點，以為原點， 分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則， ， ， ，

則， ， ，

設為平面的法向量，

則，

取，則.

取的中點，連接，則，

易證平面，從而平面的一個法向量為.

∴，

∴由圖可知，二面角為銳角，二面角的余弦值為.

【方法點晴】本題主要考查面面垂直的證明以及利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.