Question

【題目】已知橢圓C： ，點P，過右焦點F作與y軸不垂直的直線l交橢圓C于A，B兩點.

（Ⅰ ）求橢圓C的離心率；

（Ⅱ ）求證：以坐標原點O為圓心與PA相切的圓，必與直線PB相切.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：

（Ⅰ ）由橢圓標準方程知，可計算出，得離心率；

（Ⅱ ）只要證明關于軸對稱，即，為此，當直線l斜率存在時，設直線的方程： ， ， ，由直線方程與橢圓方程聯立，消去后得的一元二次方程，從而可得，然后計算可得，同時驗證一下斜率不存在時，也滿足．

試題解析：

解：（Ⅰ）由橢圓C： 得：

， ，

所以， 橢圓C的離心率為

（Ⅱ）因為，所以點F（1,0），

當直線l斜率不存在時，直線l的方程： ，A，B兩點關于x軸對稱，

點P（4,0）在x軸上，所以直線PA與直線PB關于x軸對稱，

所以， 點O到直線PA與直線的距離PB相等，

所以，以坐標原點O為圓心與PA相切的圓，必與直線PB相切

當直線l斜率存在時，設直線l的方程： ， ，

由得：

，

，

所以， ，于是點O到直線PA與直線的距離PB相等，

故以坐標原點O為圓心與PA相切的圓，必與直線PB相切

（也可以用點O到直線PA與直線的距離PB的距離相等來證明）