Question

已知二次函數(shù)滿足條件：

①；②的最小值為。

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)數(shù)列的前項積為，且，求數(shù)列的通項公式；

（3）在（2）的條件下，若是與的等差中項，試問數(shù)列中第幾項的值最小？求出這個最小值。

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) .  (Ⅱ) .   

(3) 即數(shù)列中最小, 且. 

【解析】題考查了二次函數(shù)的解析式的求解，以及數(shù)列的遞推關(guān)系，數(shù)列的求和問題，屬于中檔題，同時也考查了學(xué)生的計算能力．

（1）函數(shù)的待定系數(shù)法，以及函數(shù)在處取得最值的方法，求得待定系數(shù)，確定函數(shù)解析式；（2）類比之間的關(guān)系，，數(shù)列的前項積為則，從而求解；

（3）需判斷的單調(diào)性，考察分類討論思想。

解: (Ⅰ)題知:  , 解得 ,

故.        ……3分

(Ⅱ) ,  ,

,   又滿足上式.   所以.

 (3) 若是與的等差中項, 則, 

從而,    得.     ……9分

因為是的減函數(shù), 所以

當(dāng), 即時, 隨的增大而減小, 此時最小值為;

當(dāng), 即時, 隨的增大而增大, 此時最小值為.   ……13分

又, 所以,

即數(shù)列中最小, 且.