Question

（2013•石景山區二模）如圖，在直角坐標系xOy中，角α的頂點是原點，始邊與x軸正半軸重合，終邊交單位圓于點A，且α∈(

π

6

，

π

2

)．將角α的終邊按逆時針方向旋轉

π

3

，交單位圓于點B．記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（Ⅰ）若x1=

1

3

，求x₂；
（Ⅱ）分別過A，B作x軸的垂線，垂足依次為C，D．記△AOC的面積為S₁，△BOD的面積為S₂．若S₁=2S₂，求角α的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由三角函數定義，得 x₁=cosα=

1

3

，由此利用同角三角函數的基本關系求得sinα的值，再根據x2=cos(α+

π

3

)，利用兩角和的余弦公式求得結果．
（Ⅱ）依題意得 y₁=sinα，y2=sin(α+

π

3

)，分別求得S₁ 和S₂ 的解析式，再由S₁=2S₂ 求得cos2α=0，根據α的范圍，求得α的值．

解答：（Ⅰ）解：由三角函數定義，得 x₁=cosα，x2=cos(α+

π

3

)．
因為 α∈(

π

6

，

π

2

)，cosα=

1

3

，所以 sinα=

1-cos2α

=

2 2

3

．
所以 x2=cos(α+

π

3

)=

1

2

cosα-

3

2

sinα=

1-2 6

6

．
（Ⅱ）解：依題意得 y₁=sinα，y2=sin(α+

π

3

)． 所以 S1=

1

2

x1y1=

1

2

cosα•sinα=

1

4

sin2α，
S2=

1

2

|x2|y2=

1

2

[-cos(α+

π

3

)]•sin(α+

π

3

)=-

1

4

sin(2α+

2π

3

)．
依題意S₁=2S₂ 得 sin2α=-2sin(2α+

2π

3

)，即sin2α=-2[sin2αcos

2π

3

+cos2αsin

2π

3

]=sin2α-

3

cos2α，
整理得 cos2α=0．
因為 

π

6

＜α＜

π

2

，所以 

π

3

＜2α＜π，所以 2α=

π

2

，即 α=

π

4

．

點評：本題主要考查任意角的三角函數的定義，兩角和差的正弦公式、余弦公式，同角三角函數的基本關系的應用，屬于中檔題．