Question

【題目】已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（2）已知正數(shù)滿足：存在，使得成立．試比較與的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】(1);(2)見解析.

【解析】分析：（1）設(shè)，不等式可化為 ，對可把作為一個整體，分子分母同除以，轉(zhuǎn)化后可利用基本不等式求得其最值，從而得的范圍；

（2）令函數(shù)，則，由導(dǎo)數(shù)可求得的最小值，而題中命題成立，即這個最小值，從而可得的取值范圍，而比較與，即比較與的大小，即比較與的大小.于是可構(gòu)造函數(shù)（），利用導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)性，從而得結(jié)論.

詳解：（1）由條件知在上恒成立，

令（），則，所以對于任意成立．

因為，∴，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．

因此實數(shù)的取值范圍是．

（2）令函數(shù)，則，

當(dāng)時，，，又，故，

所以是上的單調(diào)遞增函數(shù)，

因此在上的最小值是．

由于存在，使成立，當(dāng)且僅當(dāng)最小值，

故，即．

與均為正數(shù)，同取自然底數(shù)的對數(shù)，

即比較與的大小，試比較與的大小．

構(gòu)造函數(shù)（），則，

再設(shè)，，從而在上單調(diào)遞減，

此時，故在上恒成立，則在上單調(diào)遞減．

綜上所述，當(dāng)時，；

當(dāng)時，；

當(dāng)時，．