Question

【題目】已知數列的前項和，數列滿足.

（1）證明：是等比數列，并求；

（2）若數列中去掉與數列中相同的項后，余下的項按原順序排列成數列，求的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）根據所給等式，先求得，再利用作差法可得，兩邊同時加1，可構造等比數列即可證明；利用等比數列通項公式求法，即可得.

（2）根據所給等式，先求得數列的通項公式，再找出數列與數列中重復的6項，可知的前50項即為數列的前56項和減去數列的前6項和.

（1）證明:由當時，代入可得,

解得，

因為，，

所以，

從而由，

所以，

所以是以為首項，為公比的等比數列.

故.

（2）由題意，，

，，

所以，所以數列是以為首項，為公差的等差數列.

則，

又因為，，，，，，，

，，

所以

.