Question

【題目】設函數．

（Ⅰ）若，求在區間[-1,2]上的取值范圍；

（Ⅱ）若對任意， 恒成立，記，求的最大值．

Answer 1

【答案】( Ⅰ) ；(Ⅱ) a-b的最大值是e.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）題意就是要求函數在區間上的最大值和最小值，為此求出導函數，求出的解，確定函數在上的單調性，求出極值和區間端點處的函數值，比較可得最大值和最小值，即值域；（Ⅱ）由，即恒成立，可知，而，易知，即，而時，對兩個參數分離一個出來，即，這樣，下面我們只要求的最大值，同樣利用導數可得，同樣由導數知識求得函數的最大值即為最大值．

試題解析：

（Ⅰ）當時，，

，

的根是，且

當時，，當時，，

所以在（0,2）上單調遞增，在（-1,0）上單調遞減．

所以，，

所以在區間[-1,2]上的取值范圍是．

（Ⅱ）恒成立，即恒成立，易知，

若，則，即，

若，由恒成立，即恒成立，

即恒成立，

令，則，當時，，

當時，，當時，，所以

在上單調遞減，在上單調遞增．

所以，

從而，，令，

因為，，

所以，是的極大值，

所以，故的最大值是．