Question

（2010•泰安一模）設等差數列{a_n}的前n項和為S_n，公比是正數的等比數列{b_n}的前n項和為T_n，已知a₁=1，b₁=3，a₂+b₂=8，T₃-S₃=15
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{c_n}滿足a1cn+a2cn-1+…+an-1c2=2n+1-n-2對任意n∈N^*都成立；求證：數列{c_n}是等比數列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設數列{a_n}的公差為d，數列{b_n}的公比為q（q＞0），列關于d與q的方程組求得d與q，即可求得{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）由c_n+2c_n-1+…+（n-1）c₂+nc₁=2ⁿ⁺¹-n-2向下遞推一項可得c_n-1+2c_n-2+…+（n-2）c₂+（n-1）c₁=2ⁿ-（n-1）-2（n≥2），兩式相減即可求得c_n=2^n-1（n≥3），再驗證n=1，2時的情況即可，符合則合，不符合則分段寫．

解答：（Ⅰ）設數列{a_n}的公差為d，數列{b_n}的公比為q（q＞0）
由題意得

d+3q=7 q+q2-d=5

 解得

d=1 q=2

，
∴a_n=n，b_n=3×2^n-1；
（Ⅱ）由c_n+2c_n-1+…+（n-1）c₂+nc₁=2ⁿ⁺¹-n-2
知c_n-1+2c_n-2+…+（n-2）c₂+（n-1）c₁=2ⁿ-（n-1）-2（n≥2）
兩式相減：c_n+c_n-1+…+c₂+c₁=2ⁿ-1（n≥2）
∴c_n-1+…+c₂+c₁=2^n-1-1（n≥3）
∴c_n=2^n-1（n≥3）
當n=1，2時，c₁=1，c₂=2，適合上式．
∴c_n=2^n-1（n∈N^*）．
即{c_n}是等比數列

點評：本題考查等差數列與等比數列的通項公式，考查數列的求和，突出考查方程組思想、轉化思想與分類討論思想的綜合運用，屬于中檔題．