Question

已知復數z=（2+i）-

2x

1-i

（其中i是虛數單位，x∈R）．
（Ⅰ）若復數z是純虛數，求x的值；
（Ⅱ）若函數f（x）=|z|²與g（x）=-mx+3的圖象有公共點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先對復數進行化簡，然后利用純虛數的概念可得不等式組，解出即可；
（Ⅱ）先表示出f（x），由y=f（x）與y=g（x）的圖象有公共點可得對應方程組有解，由此可得m范圍；

解答：解：（Ⅰ）依題意得：z=(2+i)-

2x

1-i

=(2-x)+(1-x)i，
又z是純虛數，所以

2-x=0 1-x≠0

，解得x=2；
（Ⅱ）因為f（x）=|z|²=（2-x）²+（1-x）²=2x²-6x+5，
聯立y=f（x）與y=g（x），得

y=2x2-6x+5 y=-mx+3

，消去y得2x²+（m-6）x+2=0，
又y=f（x）與y=g（x）的圖象有公共點，
所以△≥0，即m²-12m+20≥0，解得m≤2或m≥10．

點評：本題考查復數代數形式的乘除運算、函數的零點，考查方程思想，屬基礎題．