Question

若函數f(x)=

ax2+1

x+b

，在定義域上是奇函數且f（1）=3，
（1）求a，b的值，寫出f（x）的表達式；
（2）判斷f（x）在[1，+∞）上的單調性，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）根據函數f(x)=

ax2+1

x+b

，在定義域上是奇函數且f（1）=3，可得f（-1）=-3，由此構造方程組可得a，b的值，進而寫出f（x）的表達式；
（2）根據（1）中函數解析式，求出函數的導函數，進而根據導函數的符號，判斷出原函數的單調性．

解答：解：（1）∵f(x)=

ax2+1

x+b

，在定義域上是奇函數且f（1）=3，
∴f（-1）=-3
∴

a+1 1+b =3 a+1 -1+b =-3

解得a=2，b=0
∴f(x)=

2x2+1

x

（2）函數f（x）在[1，+∞）上單調遞增，理由如下：
∵f′(x)=

2x2-1

x2

=2-

1

x2

∵x∈[1，+∞）時，

1

x2

＜1，f′（x）＞0
故函數f（x）在[1，+∞）上單調遞增

點評：本題考查的知識點是函數的奇偶性，函數的單調性，是函數圖象和性質的綜合應用，難度中檔．