Question

關于下列命題：
①函數y=tanx在第一象限是增函數；
②函數y=cos2(

π

4

-x)是偶函數；
③函數y=4sin(2x-

π

3

)的一個對稱中心是（

π

6

，0）；
④cos（x+y）+cos（x-y）=2cosxcosy
⑤cos²α（1+tan²α）=1
寫出所有正確的命題的題號：

③④⑤

．

Answer 1

分析：利用三角函數的性質對①取特值排除即可；
利用誘導公式可判斷②；
③令f（x）=4sin（2x-

π

3

），可求得f（

π

6

）=0，從而可對③作出正確的判斷；
④利用兩角和與差的余弦計算即可判斷其正誤；
⑤將左端展開計算即可．

解答：解：①∵x₁=

π

4

，x₂=

13π

6

均為第一象限的角，且x₁＜x₂，但tanx₁=1＞

3

3

=tanx₂，故①函數y=tanx在第一象限是增函數，是錯誤的；
②∵y=f（x）=cos2（

π

4

-x）=sin2x，
∴f（-x）=sin（-2x）=-sin2x=-f（x），
∴y=cos2（

π

4

-x）為奇函數，故②錯誤；
③令f（x）=4sin（2x-

π

3

），則f（

π

6

）=4sin（2×

π

6

-

π

3

）=0，
∴函數y=4sin（2x-

π

3

）的一個對稱中心是（

π

6

，0），即③正確；
④∵左端cos（x+y）+cos（x-y）=cosxcosy-sinxsiny+cosxcosy+sinxsiny=2cosxcosy=右端，
∴cos（x+y）+cos（x-y）=2cosxcosy，正確，即④正確；
⑤由于cos²α（1+tan²α）=cos²α+sin²α=1，故（5）正確．
綜上所述，所有正確的命題的題號為③④⑤．
故答案為：③④⑤．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查三角函數的性質，考查兩角和與差的余弦與基本關系式，屬于中檔題．