Question

15、（1）試證明：y=f（x-a）與y=f（a-x）的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱；
（2）若f（1+2x）=f（1-2x）對(duì)x∈R恒成立，求函數(shù)y=f（x）圖象的對(duì)稱軸方程．

Answer 1

分析：（1）y=f（x-a）與y=f（a-x）的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為證明y=f（x）與y=f（-x）的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱的問題，再結(jié)合圖象的平移知識(shí)進(jìn)行證明；
（2）先用換元法將f（1+2x）=f（1-2x）轉(zhuǎn)化，再由轉(zhuǎn)化后的形式判斷對(duì)稱軸的方程．

解答：解：（1） 證明：由題設(shè)知y=f（a-x）=f[-（x-a）]
由于函數(shù)y=f（x）與y=f（-x）的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱，不妨令a＞0
又y=f（x-a）與y=f（a-x）的圖象可由函數(shù)y=f（x）與y=f（-x）的圖象右移動(dòng)a個(gè)單位而得到
y=f（x-a）與y=f（a-x）的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱
（2）令t=1+2x，可得2x=t-1，代入f（1+2x）=f（1-2x）得f（t ）=f（2-t）
由于|t-1|=|2-t-1|，故可知函數(shù)y=f（x）圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱
即函數(shù)y=f（x）圖象的對(duì)稱軸方程為x=1

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性，考查幅解析式的形式來推斷兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性與一個(gè)函數(shù)圖象本身對(duì)稱性的能力，本題中兩個(gè)對(duì)稱性是中學(xué)階段較常見的兩個(gè)類型，要好好理解與掌握．