Question

已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，當x≥0時，f(x)=

-7x

x2+x+1

.
（1）求當x＜0時，f（x）的解析式；
（2）試證明函數y=f（x）（x≥0）在[0，1]上為減函數．

Answer 1

分析：（1）由偶函數的定義：若偶函數f（x）的定義域為I，則，都有f（-x）=f（x）．所以?x＜0，求出f（-x）的解析式即可求出f（x）的解析式．
（2）根據減函數的定義，?x₁＜x₂∈D，若f（x₁）＞f（x₂）則函數f（x）在區間D內為減函數．

解答：解：（1）?x＜0，則-x＞0，f(-x)=-

7(-x)

(-x)2+(-x)+1

=

7x

x2-x+1

∵f（x）為偶函數，
∴f(x)=f(-x)=

7x

x2-x+1

(x＜0)
（2）?x₁，x₂∈[0，1]，且x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）═

7(x1-x2)(x1x2-1)

( x 2 1 +x1+1)( x 2 2 +x2+1)

當0≤x₁＜x₂≤1時，x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＜0，而x₁²+x₁+1＞0，x₂²+x₂+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
∴y=f（x）（x≥0）在[0，1]上為減函數

點評：本題考查了函數奇偶性以及單調性的定義，屬于基本知識的考查．定義是數學問題的基礎，在學習過程中對于定義要做到理解和靈活運用．