Question

【題目】設是函數的導數，若是的導數，若方程方有實數解，則稱.

點為函數的“拐點”.已知：任何三次函數既有拐點，又有對稱中心，且拐點就是對稱中心.設，數列的通項公式為，則__________．

Answer 1

【答案】4034

【解析】

由題意對已知函數求兩次導數可得f′′（x）=2x﹣4，由題意可得函數的圖象關于點（2，2）對稱，即f（x）+f（4﹣x）=2，由數列{an}的通項公式分析可得{an}為等差數列，且a1+a2017=a2+a2016=…=2a1009=4，而=f（a1）+f（a2）+…+f（a2016）+f（a2017），結合f（x）+f（4﹣x）=2，計算可得答案．

根據題意，三次函數，

則=x2﹣4x+，

則=2x﹣4，

若=2x﹣4=0，則有x=2，

又由，則f（2）=2，

即（2，2）是三次函數的對稱中心，

則有f（x）+f（4﹣x）=4，

數列{an}的通項公式為an=n﹣1007，為等差數列，

則有a1+a2017=a2+a2016=…=2a1009=4

則=f（a1）+f（a2）+…+f（a2016）+f（a2017）

=f（a1）+f（a2017）+f（a2）+f（a2016）+…+f（a1008）+f（a1010）+f（a1009）

=4×1008+2=4034；

故答案為：4034．