Question

在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點M （1，-3）、N（5，1），若點C滿足

OC

=t

OM

+（1-t）

ON

（t∈R），點C的軌跡與拋物線：y²=4x交于A、B兩點．
（1）求證：

OA

⊥

OB

；
（2）在x軸上是否存在一點P （m，0），使得過點P任作拋物線的一條弦，并以該弦為直徑的圓都過原點．若存在，請求出m的值及圓心的軌跡方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）要證明

OA

⊥

OB

，由平面向量數量積的性質，我們易得，即為證明

OA

•

OB

=0，我們可以聯立直線與拋物線的方程，利用設而不求的方法，結合一元二次方程根與系數的關系（韋達定理）不難得到答案．
（2）由（1）的結論，我們易得，當P（4，0）是滿足要求，但為了得到結論我們還要對經過該點的直線進行分類討論，及嚴謹的論證，然后才能得到結論．

解答：證明：（1）∵點C滿足

OC

=t

OM

+（1-t）

ON

（t∈R），
則M、N、C三點共線，
又因為直線MN的方程為x-y-4=0
∴點C的軌跡方程為x-y-4=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

x-y-4=0 y2=4x

得：
x²-12x+16=0
∴x₁•x₂=16，x₁+x₂=12
又y₁•y₂=（x₁-4）•（x₂-4）=-16
∴x₁•x₂+y₁•y₂=0
∴

OA

⊥

OB

；
（2）由（1）的結論得，存在點（4，0），使得過點P任作拋物線的一條弦，以該弦為直徑的圓都過原點．
證明：當弦所在直線的斜率不存在時，弦的方程為x=4
此時弦長為8，弦的中點即為（4，0），故滿足題目要求，
當弦所在直線的斜率存在時，設弦的方程為x=ky+4，
代入拋物線方程y²=4x得：y²-4ky-16=0
∴y₁+y₂=4k，y₁•y₂=-16
k_OA•k_OB=

y1

y 2 1 4

•

y2

y 2 2 4

=

16

y1•y2

=-1
∴

OA

⊥

OB

，故以AB為直徑的圓都過原點．
此時滿足條件的m=4

點評：若

OC

= λ

OA

+μ

OB

，且λ+μ=1．則A、B、C三點共線，且C分AB的兩段線段AC與BC的長度之比，AC：BC=μ：λ