Question

如圖，半徑為1的⊙O上有一定點P和兩個動點A，B，且AB=1，則

PA

•

PB

的最大值是

3

2

+

3

．

Answer 1

分析：可連接OA、OB、OP，設∠AOP=θ，則∠POB=θ+

π

3

，將

PA

•

PB

轉化為

PA

•

PB

=（

OA

-

OP

）•（

OB

-

OP

）=

OA

•

OB

-

OA

•

OP

-

OP

•

OB

+

OP

2，再利用向量的數量積計算即可．

解答：解：連接OA、OB、OP，由|

OA

|=|

OB

|=|

AB

|=1知：∠AOB=

π

3

，
設∠AOP=θ，則∠POB=θ+

π

3

，于是

PA

•

PB

=（

OA

-

OP

）•（

OB

-

OP

）=

OA

•

OB

-

OA

•

OP

-

OP

•

OB

+

OP

2
=1×1×cos

π

3

-1×1×cosθ-1×1×cos（θ+

π

3

）+1
=

3

2

-[cosθ+cos（θ+

π

3

PA

）]
=

3

2

-

3

（

3

2

cosθ-

1

2

sinθ）
=

3

2

-

3

cos（θ+

π

6

）
∴

PA

•

PB

的最大值為：

3

2

+

3

故答案為：

3

2

+

3

點評：本題考查余弦函數的定義域和值域，關鍵在于將

PA

•

PB

進行合理轉化，考查轉化思想與輔助角公式的運用，屬于中檔題．