Question

【題目】如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB⊥側面BB1C1C，AB＝BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝ .

(1)求證：C1B⊥平面ABC；

設 (0≤λ≤1)，且平面AB1E與BB1E所成的銳二面角的大小為30°，

試求λ的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）1

【解析】試題分析：（1）先由線面垂直的性質證明，再根據余玄定理及勾股定理證明，利用直線與平面垂直的判斷定理證明平面；（2）通過兩兩垂直.以為原點，所在直線軸建立空間直角坐標系.求出相關點的坐標，求出平面的一個法向量，平面BB1E的一個法向量，通過向量的數量積，推出的方程，求解即可.

試題解析：(1)證明：因為AB⊥側面BB1C1C，BC1側面BB1C1C，故AB⊥BC1.

在△BCC1中，BC＝1，CC1＝BB1＝2，∠BCC1＝，

BC＝BC2＋CC－2BC·CC1·cos∠BCC1＝12＋22－2×1×2×cos＝3.

所以BC1＝，故BC2＋BC＝CC，所以BC⊥BC1，

而BC∩AB＝B 所以C1B⊥平面ABC.

(2)由(1)可知，AB，BC，BC1兩兩垂直．以B為原點，BC，BA，BC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．

則B(0,0,0)，A(0,1,0)，B1(－1,0，)，C(1,0,0)，C1(0,0，)．

所以＝(－1,0，)，所以＝(－λ，0，λ)，則E(1－λ，0，λ)．

則＝(1－λ，－1，λ)，＝(－1，－1，)．

設平面AB1E的法向量為n＝(x，y，z)，

則即

令z＝，則x＝，y＝，

故n＝是平面AB1E的一個法向量．

因為AB⊥平面BB1C1C，所以＝(0,1,0)是平面BB1E的一個法向量，

所以|cos〈n，〉|＝

＝

＝.

兩邊平方并化簡得2λ2－5λ＋3＝0，所以λ＝1或λ＝ (舍去)．

故所求λ的值為1

【方法點晴】本題主要考查線面垂直的判定定理以及利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.