Question

已知定理：“如果兩個非零向量不平行，那么（k₁，k₂∈R）的充要條件是k₁=k₂=0”．試用上述定理解答問題：
設非零向量與不平行．已知向量，向量，且．求k與θ的關系式；并當θ∈R時，求k的取值范圍．

Answer 1

解：∵，∴存在唯一實數λ，使，即
∵，，
∴
即
∴ksinθ+λ=0，2-cosθ+λ=0
∴ksinθ=2-cosθ，k=
∵可看作點（-sinθ，cosθ），與點（0，2）連線的斜率
（-sinθ，cosθ）是圓x²+y²=1上動點，（0.2）是定點
求過（0，2）點的圓的切線斜率，可得k=±
∴-＜k＜
答：k與θ的關系式為k=，當θ∈R時，k的取值范圍為（-，）
分析：因為，可根據向量平行的充要條件，找到坐標之間的關系，再根據題目中給出的定理，化簡，即可得到k與θ的關系式，把關系式看作過定點與動點的直線的斜率，利用直線與圓相切的判斷，求出k的范圍即可．
點評：本題主要考查了利用新概念解題，以及應用直線的斜率公式求范圍，考查了學生具有自主學習的能力和轉化的思想．