Question

【題目】如圖，四棱錐中，平面，，，，為的中點，與相交于點.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）先證明面得到，再證明得到平面.

（Ⅱ）以為原點，分別以為軸，軸，軸的建立直角坐標系.計算平面的法向量為，再利用向量夾角公式得到答案.

解：（Ⅰ）

由已知平面，可得，，

由題意得，為直角梯形，如圖所示，

，所以為平行四邊形，

所以，所以.

又因為，且，

所以面，

故.

在直角梯形中，，

因為面，所以，

所以為等腰直角三角形，為斜邊上的中點，

所以.且，

所以平面

（Ⅱ）法一：以為原點，分別以為軸，軸，軸的建立直角坐標系.

不妨設

，，，，

設是平面的法向量.

滿足 ，

所以 ，

則令 ，解得

法二：（等體積法求到平面的距離）

設，計算可得

， ， ，

，

解得