Question

已知H（－3，0），點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，點(diǎn)M在直線PQ上，且滿足
⑴當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C；
⑵過(guò)點(diǎn)T(－1，0)作直線l與軌跡C交于A、B兩點(diǎn)，若在x軸上存在一點(diǎn)E(x₀，0)，使得△ABE是等邊三角形，求x₀的值．

Answer 1

見(jiàn)解析

解（1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），則由得
，得。所以y²＝4x 由點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，得x>0，所以，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C是以（0，0）為頂點(diǎn)，以（1，0）為焦點(diǎn)的拋物線，除去原點(diǎn)．
（2）設(shè)直線l：y＝k(x＋1)，其中k≠0代入y²＝4x，得k²x²＋2(k²－2)x＋k²＝0     ①
設(shè)A（x₁，y₁），B(x₂，y₂)，則x₁，x₂是方程①的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理得
所以，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，線段AB的垂直平分線方程為

令 ，所以，點(diǎn)E的坐標(biāo)為。因?yàn)?i>△ABE為正三角形，所以，點(diǎn)E到直線AB的距離等于
   
所以，