Question

一個口袋裝有n個紅球(n≥5且n∈N)和5個白球,一次摸獎從中摸2個球(每次摸獎后放回),2個球顏色不同則為中獎.

(1)試用n表示一次摸獎中獎的概率.

(2)若n=5,求3次摸獎的中獎次數ξ=1的概率及數學期望.

(3)記3次摸獎恰有1次中獎的概率為P,當n取多少時,P最大?

 

Answer 1

(1) P= (2) (3) n=20

【解析】(1)記“1次從n+5個球中摸出2個球”為事件A,card(A)=.

“1次從n+5個球中摸出2個球且2個球異色”為事件B,card(B)=5n,

所以,所求概率P=.

(2)3次放回式摸獎中“每次從n+5個球中摸出2個球且2個球異色”為獨立重復事件,

當n=5時,獲獎次數ξ～B(3,),

P(ξ=1)=.

E(ξ)=np==.

(3)ξ～B(n,p),

P(ξ=1)=p(1-p)2=3p3-6p2+3p,0<p<1,

令f(p)=3p3-6p2+3p,由f'(p)=9p2-12p+3=0,

得p=;

當p=時f(p)有最大值.

由p==,解得n=20.

所以當n=20時,3次摸獎恰有1次中獎的概率最大.