Question

已知f（x）=2-

1

x+1

-x（x＞-1），若f（x）≤t²-2at+1大于所有的x∈（-1，+∞），a∈[-1，1]恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知條件推導(dǎo)出f（x）=2-

1

x+1

-x的最大值為1．從而得到2ta-a²≤0對于所有的a∈[-1，1]恒成立，由此能求出實數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：∵x＞-1，∴x+1＞0，
f（x）=2-

1

x+1

-x
=3-（

1

x+1

+x+1）
≤3-2

1 x+1 •(x+1)

=1，
∴f（x）的最大值為1．
∴f（x）≤t²-2at+1對于所有的x∈（-1，+∞），a∈[-1，1]恒成立
等價于1≤t²-2at+1對于所有的a∈[-1，1]恒成立，
∴2ta-a²≤0對于所有的a∈[-1，1]恒成立，
令g（a）=2ta-t²，只要

g(-1)≤0 g(1)≤0

，
∴t≤-2，或t≥0，或t=0．
∴實數(shù)t的取值范圍是{t|t≤-2，或t≥0，或t=0}．

點評：本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想和均值定理的合理運用．