Question

已知一條拋物線和一個橢圓都經過點M（1，2），它們在x軸上具有相同的焦點F₁，且兩者的對稱軸都是坐標軸，拋物線的頂點在坐標原點．
（1）求拋物線的方程和橢圓方程；
（2）假設橢圓的另一個焦點是F₂，經過F₂的直線l與拋物線交于P，Q兩點，且滿足，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意可設拋物線方程為y²=2px（p＞0），
把M（1，2）點代入方程得：拋物線方程為y²=4x…（2分）
所以F₁（1，0），
設橢圓方程為，
∵橢圓經過點M，橢圓的焦點F₁（1，0），
∴
∴，
∴橢圓方程為…（6分）
（2）橢圓的焦點F₁（1，0），另一個焦點為F₂（-1，0），
設直線的方程為y=k（x+1），聯立方程得，
消去y得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
因為直線l與拋物線相交于P、Q兩點，所以，解得-1＜k＜1且k≠0…（9分）
設P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂），則，
由得（x₁+1，y₁）=m（x₂+1，y₂），所以，
∵P、Q為不同的兩點，∴，
即，∴
解得，
∴…（12分）
即，
∵0＜k²＜1，
∴，即
∴m＞0且m≠1…（14分）
分析：（1）假設拋物線、橢圓的標準方程，利用拋物線和一個橢圓都經過點M（1，2），它們在x軸上具有相同的焦點F₁，即可求得拋物線的方程和橢圓方程；
（2）設直線的方程為y=k（x+1），聯立方程得，消去y得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，根據直線l與拋物線相交于P、Q兩點，確定k的范圍，利用，可得，利用k的范圍，即可求得m的取值范圍．
點評：本題重點考查拋物線、橢圓的標準方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查向量知識的運用，解題的關鍵是確定k的范圍，找出k，m的關系，綜合性強